选项A，若|a+b|≥1成立，取a=-1，b=0，此时|a|+|b|＞1不成立，故不正确；

选项B，若a≥1成立，取a=1，b=0，此时||a|+|b|＞1不成立，故不正确；

选项C，若|a|≥

1

2

且b≥

1

2

成立，取a=

1

2

，b=

1

2

，此时|a|+|b|＞1不成立，故不正确；

选项D，若b＜-1成立，则|b|＞1成立，此时|a|+|b|＞1成立，反之不成立，比如a=2，b=0，故正确；

∴b＜-1是|a|+|b|＞1成立的一个充分不必要条件

故选D．