（Ⅰ）不妨设P为双曲线上右支一点

∵

PF1

•

PF2

=0，

∴

PF1

⊥

PF2

∴|

PF1

|2+

|PF2

|2=4c2

∵|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a．

∴|

PF2

|=2a，|

PF1

|=4a

∴4a²+16a²=4c²

∴a=

1

5

c

∴e=

c

a

=

5

∴双曲线的离心率为

5

；

（Ⅱ）不妨设P为双曲线上右支一点，坐标为（x，y），（y＞0）则根据第二定义可得

2a

x- a2 c

=

c

a

∴2a=ex-a，又双曲线的离心率为

5

；

∴x=

3a

5

代入双曲线方程可得

( 3a 5 )2

a2

-

y2

b2

=1，∴y=

2b

5

∴P(

3a

5

，

2b

5

)

∵

PF1

•

PF2

=0

∴(

3a

5

)2+(

2b

5

)2-c2=0

∴b=2a

∴P(

3a

5

，

4a

5

)

设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）

∵双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

x=±2x，过点P作直线分别与双曲线两渐近线交于Q，R两点

∴Q（x₁，2x₁），R（x₂，-2x₂）

∵

OQ

•

OR

=-

27

4

∴x1x2=

9

4

∵2

PQ

=-

PR

∴2(x1-

3a

5

，2x1-

4a

5

)=-(x2-

3a

5

，-2x2-

4a

5

)

∴2x1+x2=

9a

5

，2x1-x2=

6a

5

∴x1=

3 5 a

4

，x2=

3 5 a

10

∴

3 5 a

4

× 

3 5 a

10

=

9

4

∴a²=2

∴b²=8

∴双曲线的方程为

x2

2

-

y2

8

=1