问题
问答题
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)．
答案
参考答案：由题设，设FY(y)是Y的分布函数．则由全概率公式，得U=X+Y的分布函数为
G(u)=P{X+Y≤u}
=0.3P{X+Y≤|X-1}+0.7P{X+Y≤u|X-2}
=0.3P{Y≤u-1|X=1}+0.7P{Y≤u-2|X=2}．
由已知X与Y独立，则
P{Y≤u-1|X-1}=P{Y≤u-1}，
且P{Y≤u-2|X=2}=P{Y≤u-2}，
所以G(u)=0.3P{Y≤u-1}+0.7P{Y≤u-2}
=0.3F(u-1)+0.7F(u-2)，
因此U=X+Y的概率密度为
g(u)=G’(u)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2)．
解析：[考点提示] 独立性、全概率公式、概率密度．