由题意，f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）为[0，1]上的增函数

所以f（x）为[-1，0]上是减函数

又f（x）是定义在R上的函数，且以2为周期

[3，4]与[-1，0]相差两个周期，故两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立，

若f（x）为[3，4]上的减函数，由周期性可得出f（x）为[-1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立

综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．

故答案为：充要．