问题
问答题
设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，其中α3≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，Aα3=0．
(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)求矩阵A的特征值和特征向量．
(Ⅲ)求行列式|A+2E|的值．
答案
参考答案：设k1α1+k2α2+k3α3=0 (1)
因为Aα1=α2，Aα2=α3，Aα3=0，用A左乘(1)式两端，有
k1α2+k2α3=0 (2)
再用A左乘(2)式两端，有k1α3=0
由于α3≠0．故必有k1=0．
把k1=0代入(2)得k2=0．把k1=0，k2=0代入(1)得k2=0．所以α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)由于
据(Ⅰ)知α1，α2，α3线性无关，即矩阵P=(α1，α2，α3)可逆．
从而
因为矩阵B的特征值是λ1=λ2=λ3=0，从而矩阵A的特征值是λ=0(三重根)．
又因r(A)=r(B)=2．所以齐次方程组Ax=0的基础解系仅由n-r(A)=3-2=1个向量构成．即λ=0只有一个线性无关的特征向量．由Aα3=0=0α3，α3≠0，故矩阵A的特征向量为kα3，k≠0．
(Ⅲ)因为A～B有A+2E～B+2E
从而|A+2E|=|B+2E|=8．