问题
解答题
| 已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）． （1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：-
（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：1≤a≤
|
答案
（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），
不妨设x1＞x2，
则
＜1，即y1-y2 x1-x2
＜1，-
+ax 13
+x 12
-ax 23 x 22 x1-x2
∴
＜1-(x1-x2)(
+x1x2+x 21
)+a(x1-x2)(x1+x2)x 22 x1-x2
整理得：x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0
∵x1∈R
∴△=（x2-a）2-4（x22-ax2+1）＜0即3x22-2ax2-a2+4＞0
∵x2∈R
∴△=4a2-12（-a2+4）＜0即a2-3＜0
∴-
＜a＜3 3
（2）k=f'（x）=-3x2+2ax，则当x∈[0，1]时，|k|≤1⇔-1≤-3x2+2ax≤1
⇔
或0≤
≤1a 3 |f′(1)|=|-3+2a|≤1 |f(
)|=a 3
≤1a2 3
或
＞1a 3 |f′(1)|=-3+2a≤1
＜0a 3 |f′(1)|=|-3+2a|≤1
解得：1≤a≤
，故|k|≤1成立的充要条件是1≤a≤3
．3