问题
问答题
设
求证：
(Ⅰ)对于任何自然数n，方程
在区间(0，
)中仅有一根；
(Ⅱ)设xn∈(0，
)满足
答案
参考答案：[证] (Ⅰ)因为fn(x)=1-(1-cosx)n在[0，
]上连续，且fn(0)=0，
故由介值定理知，存在
又因为
严格递减．因此，方程
内仅有一根．
(Ⅱ)因为
令n→∞，两边取极限得
这说明存在正整数N，使对于n≥N时，有
因为fn(x)严格递减，所以
对于n≥N由夹逼定理有
当n→∞时，
