已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，

问题问答题

已知A是3阶矩阵，α_i(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aα_i=iα_i(i=1，2，3)，令α=α₁+α₂+α₃.
(Ⅰ)证明：α，Aα，A²α线性无关；
(Ⅱ)设P=(α，Aα，A²α)，求P^-1AP．

答案

参考答案：[证明与求解] (Ⅰ)由Aα₁=α₁，Aα₂=2α₂，Aα₃=3α₃，且α₁，α₂，α₃非零可知，α₁，α₂，α₃是A的不同特征值的特征向量，故α₁，α₂，α₃线性无关．
又 Aα=α₁+2α₂+3α₃，A²α=α₁+4α₂+9α₃，若 k₁α+k₂Aα+k₃A²α=0，即
k1(α₁+α₂+α₃)+k₂(α₁+2α₂+3α₃)+k₃(α₁+4α₂+9α₃) =0，
则 (k₁+k₂+k₃)α1+(k₁+2k₂+4k₃)α₂+(k₁+3k₂+9k₃)α₃=0．
由α₁，α₂，α₃线性无关，得齐次线性方程组
[*]
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k₁=k₂=k₃=0，即α，Aα，A²α线性无关．
(Ⅱ) 因为A³α=α₁+8α₂+27α₃=6α-11Aα+6A²α，所以
AP=A(α，Aα，A²α)=(Aα，A²α，6α-11Aα+6A²α)
[*]
故[*]

解析：[评注] 证明向量组的线性无关性有多种方法，本题是用定义法，要掌握这种证明方法.即先设k₁α₁+k₂α₂+...k_sα_s=0，然后根据已知条件作恒变形，证明必有k₁=0，k2=0,...ks=0.从而α₁,α₂,...α_s线性无关.对于A³α要会用α,Aα,A²α线性表出，要会把矩阵AP=(Aα,A²α,A³α)恒等变形为PB形式.