参考答案：[解] (Ⅰ)由[*]知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量．
记[*]则 Aα₁=0=0α₁，Aα₂=0=0α₂．
所以λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α₁，α₂是λ=0的线性无关的特征向量．
根据[*]有0+0+λ₃=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6．
设λ=6的特征向量为α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有
[*]解出α₃=(1，2，-1)^T．
对α₁，α₂正交化，令 β₁=(1，0，1)^T，则
[*]
再对β₁，β₂，α₃单位化，得
[*]
那么经坐标变换x=Qy，即
[*]
二次型化为标准形[*]
(Ⅱ)因为[*]有[*]进而[*]又[*][*]所以由[*]于是[*]

解析：[评注] 要会用AB=0，即由AB=0要联想到B的列向量是Ax=0的解，进而可转换出特征值、特征向量的信息.要掌握用正交变换法化二次型为标准形.
本题也可由AB=0先求出a、b、c的值，然后再求解.