（1）求导函数，可得f′(x)=2•

x2-a

x

（x＞1）

①a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x）_min=f（1）=1；

②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得x=

a

当x∈(1，

a

)时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上是单调递减函数；当x∈(

a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数在[1，+∞）上是单调递增函数，

∴x=

a

时，f（x）_min=a-alna

∴g(a)=

1，a≤1 a-alna，a＞1

；

（2）证明：记g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，则g′(x)=

2

x

(x2-ax-1) 

①充分性：若a=

1

2

，则g（x）=x²-lnx-x，g′(x)=

1

x

(2x+1)(x-1)

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数；

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，

∴当x=1时，g（x）_min=g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号，

∴方程f（x）=2ax有唯一解；

②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x²-ax-a=0，

∵a＞0，x＞0，∴x1=

a+ a2+4a

2

（另一根舍去）

当x∈（0，x₁）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上是单调递减函数；

当x∈（x₁，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₁，+∞）上是单调递增函数．

∴当x=x₂时，g′（x₁）=0，g（x）_min=g（x₁），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₁）=0，

∴

g(x1)=0 g′(x1)=0

∴

x12-2alnx1-2ax1=0 x12-ax1-a=0

∴2alnx₁+ax₁-a=0

∵a＞0

∴2lnx₁+x₁-1=0

设函数h（x）=2lnx+x-1

∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．

∵h（1）=0，∴方程2lnx₁+x₁-1=0的解为x₁=1，即x1=

a+ a2+4a

2

=1，∴a=

1

2

由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=

1

2

”．