已知5×4矩阵A=(α1,α2,α3,α4),若η1=(3,1,-2,1)T,η2=(0,1,0,1)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,那么下列命题
①α1,α3线性无关; ②α1可以由α2,α3线性表出;
③α3,α4线性无关; ④ 秩r(α1,α1+α2,α3-α4)=3
中正确的是
A.①③.
B.②④.
C.②③.
D.①④.
参考答案:C
解析:
[分析]: 由η1,η2是齐次方程组Ax=0的解,有
[*]
(*)-(**)得 3α1-2α3=0 或[*]故命题①错误,命题②正确.
由η1,η2是齐次方程组Ax=0的基础解系,知n-r(A)=2.那么秩
r(α1,α2,α3,α4)=r(A)=2.
如果α3,α4线性相关,则α4=kα3.又[*]α2=-α4,与秩r(α1,α2,α3,α4)=2相矛盾.故命题③正确.
用排除法知④错误,当然也可用初等变换判断出r(α1,α1+α2,α3-α4)=r(α1,α2,0)≤2,得到命题④错误.
综上分析,可知应选(C).