问题
问答题
设
(Ⅰ)求
其中C是椭圆周
取逆时针方向；
(Ⅱ)分别讨论在y＞0与x＜1且(x，y)≠(0，0)时，积分
是否与路径无关
答案
参考答案：[分析与求解] (Ⅰ)记[*]由C的参数方程直接计算J不方便，由于
[*]
可考虑用格林公式计算J．因为P，Q在点(0，0)处没定义，所以不能在C所围的区域D上直接用格林公式．但可在D中挖掉以(0，0)为圆心，ε＞0充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式．见图．求解如下：
[*]
以(0，0)为圆心，ε＞0充分小为半径作圆周[*](取顺时针方向)，Cε与C围成的区域记为Dε，在Dε上用格林公式得
[*]
其中[*]取逆时针方向．
用“挖洞法”求得[*]可用Cε的方程化简被积表达式，然后用格林公式得
[*]
其中[*]为[*]所围成的圆域．
(Ⅱ)y＞0是单连通区域，且有[*]因此，在y＞0中积分[*]与路径无关．
区域D：x＜1，(x，y)≠(0，0)不是单连通区域．题(Ⅰ)中已求出
[*]
取Cε使得它含在D中．因为在D中[*]一条闭曲线L=C+ε，使得
[*]
[*]在区域D：x＜1，(x，y)≠(0，0)内不是与路径无关的．