∵tanα是方程x²+2xsecα+1=0的较小根，

∴方程的较大根是cotα．

∵tanα+cotα=-2secα，即

1

sinαcosα

=-

2

cosα

∴sinα=-

1

2

．

解得α=2kπ+

7π

6

，或α=2kπ-

π

6

，k∈Z．

当α=2kπ+

7π

6

(k∈Z)时，tanα=

3

3

，cotα=

3

；

当α=2kπ-

π

6

(k∈Z)时，tanα=-

3

3

，cotα=-

3

，不合题意．

∴α=2kπ+

7π

6

，k∈Z．