问题 解答题
已知函数f(x)=
3
sin2x+sinxcosx
x∈[
π
2
, π]

(Ⅰ)求方程f(x)=0的根;
(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值.
答案

(Ⅰ)f(x)=

3
2
(1-cos2x)+
1
2
sin2x=sin(2x-
π
3
)+
3
2

令f(x)=0,得 sin(2x-

π
3
)=-
3
2

因为x∈[

π
2
, π],所以2x-
π
3
∈[
3
, 
3
]
.…(4分)

所以,当2x-

π
3
=
3
,或2x-
π
3
=
3
时,f(x)=0.

即 x=

6
或x=π时,f(x)=0.

综上,函数f(x)的零点为

6
或π.…(10分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,

2x-

π
3
=
3
,即x=
π
2
时,f(x)的最大值为
3

2x-

π
3
=
2
,即x=
11π
12
时,f(x)的最小值为-1+
3
2
.…(12分)

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