问题
解答题
已知
（I）求|
（II）求证：
（III）设|k
|
答案
（I）∵
=(cosα，sinα)，a
∴|
| =a
=1．（3分）cos2α+sin2α
（II）证明：∵（
+a
）•（b
-a
）b
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β
=0，
∴（
+a
）⊥（b
-a
）．（8分）b
（III）∵k
+a
=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，b
∴
-ka
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）b
∴|k
+a
| =b (kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2
=
，（12分）k2+1+2kcos(β-α)
|
-ka
| =b (cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2
=
，1-2kcos(β-α)+k2
∵|k
+a
|=|b
-ka
|，b
∴
=k2+1+2kcos(β-α)
，1-2kcos(β-α)+k2
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴β-α=
．（14分）π 2