问题 解答题
已知tanα=
1
2
,sin(α+β)=-
2
10
,其中0<α<π,0<β<π.
(1)求cosβ的值;
(2)求α-β的值.
答案

(1)∵tanα=

1
2
>0,且0<α<π,

∴0<α<

π
2
,…(1分)

∴cosα=

1
1+tan2α
=
2
5
5

∴sinα=

1-cos2α
=
5
5
,…(2分)

又0<β<π,

∴0<α+β<

2
,…(3分)

又sin(α+β)=-

2
10
<0,

∴π<α+β<

2
,又sin(α+β)=-
2
10

∴cos(α+β)=-

1-sin2(α+β)
=-
7
2
10
,…(4分)

则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

=-

7
2
10
×
2
5
5
-
2
10
×
5
5
=-
3
10
10
;…(6分)

(2)∵cosβ=-

3
10
10
<0,且0<β<π,

π
2
<β<π,

∴sinβ=

1-cos2β
=
10
10
,(8分)

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

=

2
5
5
×(-
3
10
10
)+
5
5
×
10
10
=-
2
2
,…(10分)

又0<α<

π
2
π
2
<β<π,

∴-π<α-β<0,…(11分)

则α-β=-

4
.…(12分)

单项选择题 B1型题
填空题