问题
解答题
已知tanα=
(1)求cosβ的值; (2)求α-β的值. |
答案
(1)∵tanα=
>0,且0<α<π,1 2
∴0<α<
,…(1分)π 2
∴cosα=
=1 1+tan2α
,2 5 5
∴sinα=
=1-cos2α
,…(2分)5 5
又0<β<π,
∴0<α+β<
,…(3分)3π 2
又sin(α+β)=-
<0,2 10
∴π<α+β<
,又sin(α+β)=-3π 2
,2 10
∴cos(α+β)=-
=-1-sin2(α+β)
,…(4分)7 2 10
则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-
×7 2 10
-2 5 5
×2 10
=-5 5
;…(6分)3 10 10
(2)∵cosβ=-
<0,且0<β<π,3 10 10
∴
<β<π,π 2
∴sinβ=
=1-cos2β
,(8分)10 10
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=
×(-2 5 5
)+3 10 10
×5 5
=-10 10
,…(10分)2 2
又0<α<
,π 2
<β<π,π 2
∴-π<α-β<0,…(11分)
则α-β=-
.…(12分)3π 4