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问题 解答题
已知向量
m
=（
3
sin2x-1，cosx），n=（
1
2
，cosx），设函数f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，
π
2
]上的最大值；
（2）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A、B为锐角，f（A+
π
6
）=
3
5
，f（
B
2
-
π
12
）=
10
10
，又a+b=
2
+1，求a、b、c的值．
答案

（1）f(x)=

m
• 
n
=
3
2
sin2x-
1
2
+cos2x=sin(2x+
π
6
)，（3分）

∴T=

2π
2
=π，

由0≤x≤

π
2
得
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，

∴-

1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1，

∴f（x）max=1；（16分）

（2）∵f(A+

π
6
)=
3
5
，

∴cos2A=

3
5
⇒sin2A=
1-cos2 A
2
=
1
5
，

∵A为锐角，∴sinA=

5
5
，cosA=
2
5
5
（7分）

又f(

B
2
-
π
12
)=
10
10
⇒sinB=
10
10
，

∵B为锐角，∴cosB=

3
10
10
，（8分）

由正弦定理知

a
b
=
sinA
sinB
=
2
⇒a=
2
b

又a+b=

2
+1⇒a=
2
，b=1（10分）

又∵sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+cosA•sinB=

5
5
•
3
10
10
+
2
5
5
•
10
10
=
2
2
，

由

c
sinC
=
b
sinB
⇒c=
b•sinC
sinB
=
2
2
×
10
=
5
（12分）

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