由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，

①²+②²得：（3sinA+4cosB）²+（3cosA+4sinB）²=37，

化简得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，

即sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=

1

2

，又C∈（0，π），

所以∠C的大小为

π

6

或

5

6

π，

若C=

5

6

π，得到A+B=

π

6

，则cosA＞

3

2

，所以3cosA＞

3 3

2

＞1，

则3cosA+4sinB＞1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以C≠

5

6

π，

所以满足题意的C的值为

π

6

．

故选A