已知过抛物线C：y2=4x的焦点作直线与C分别相交于A、B两点，点M在

问题选择题

已知过抛物线C：y²=4x的焦点作直线与C分别相交于A、B两点，点M在抛物线的准线上．命题甲：直线BM与x轴平行；命题乙：直线AM过坐标原点．那么，命题甲是命题乙成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

设过焦点F（1，0）的直线方程为x=my+1 代入抛物线方程，消去x，并整理得，y²-4my-4=0，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4，继而两边平方，16=16x₁x₂，∴x₁x₂=1

若直线BM与x轴平行，则B（-1，y₂），此时k_OA=

=y₂=k_OM，k，o，m三点共线，即直线AM过坐标原点．

反之，若直线AM过坐标原点，则直线AM的方程为 y=

x，，与抛物线准线方程x=-1联立得B的纵坐标为y=-

=y₂，所以直线BM与x轴平行

综上所述甲是乙成立的充要条件

故选C