问题
问答题
设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件是b为A*x=0的解．
答案
参考答案：必要性
因为Ax=b有无穷多解，所以r(A)＜n即|A|=0，
有A*b=A*Ax=|A|x=0，即b是A*x=0的解．充分性．
因为b为A*x=0的解，即A*x=0有非零解．
所以r(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)=1，r(A)=n-1．
同时由A*A=|A|E=0．A*b=0，
令A=(α1，α2，…，αn)，则α1，α2…，αn是A*x=0的解，
因为A11≠0，所以α1，α2，…，αn线性无关，
所以α2，α3，…αn是方程组A*x=0的基础解系，
b可由α2，α3，…，αn线性表示，即b可由α1，α2，α3，…，αn线性表示，
因为Ax=b有解，又r(A)=n-1，所以Ax=b有无穷多解．
解析：[考点提示] 伴随矩阵的计算．
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