问题
问答题
(Ⅰ)设α1，α2，β1，β2均是三维列向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性
(Ⅱ) 当
由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出的向量．
答案
参考答案：四个三维向量α1，α2，β1，β2必线性相关，故知存在不全为零的k1，k2，λ1，λ2，使得
k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0
成立
即k1α1+k2α2=λ1β1-λ2β2成立，
其中k1，k2不全为零(否则南-λ1β1-λ2β2=0，可推出λ1=λ2=0，这和k1，k2，λ1，λ2不全为零矛盾)．
令ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2≠0，则ξ即为所求．得证存在非零向量ξ，使得考既可α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2，
得k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，
将此齐次方程组的系数矩阵化成阶梯形矩阵，得方程通解为
(k1，k2，λ1，λ2)=k(1，0，-5，-3)T，
所求向量为
[*]
解析：
[分析]： 解题关键在于明确线性相关、线性无关、线性表出、线性组合等概念的区别与联系.
