参考答案：四个三维向量α₁，α₂，β₁，β₂必线性相关，故知存在不全为零的k₁，k₂，λ₁，λ₂，使得
k₁α₁+k₂α₂+λ₁β₁+λ₂β₂=0
成立
即k₁α₁+k₂α₂=λ₁β₁-λ₂β₂成立，
其中k₁，k₂不全为零(否则南-λ₁β₁-λ₂β₂=0，可推出λ₁=λ₂=0，这和k₁，k₂，λ₁，λ₂不全为零矛盾)．
令ξ=k₁α₁+k₂α₂=-λ₁β₁-λ₂β₂≠0，则ξ即为所求．得证存在非零向量ξ，使得考既可α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ξ=k₁α₁+k₂α₂=-λ₁β₁-λ₂β₂，
得k₁α₁+k₂α₂+λ₁β₁+λ₂β₂=0，
将此齐次方程组的系数矩阵化成阶梯形矩阵，得方程通解为
(k₁，k₂，λ₁，λ₂)=k(1，0，-5，-3)^T，
所求向量为
[*]

解析：

[分析]： 解题关键在于明确线性相关、线性无关、线性表出、线性组合等概念的区别与联系.