问题 填空题

已知:3Sinβ=Sin(2α+β),则tanβ的最大值是______.

答案

由3sinβ=sin(2α+β)得:

3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]

⇒3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

⇒sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα

若cos(α+β)=0,则易得tanβ=0

若cos(α+β)≠0,则在等式两边同除以cos(α+β),即

sin(α+β)cosα
cos(α+β)
=
2cos(α+β)sinα
cos(α+β)

∴tan(α+β)=2tanα  (tanα≠0)

因为tanβ=tan[(α+β)-α]=

tan(α+β)-tanα
1+tan(α+β)tanα
=
tanα
1+2tan2α
=
1
1
tanα
+2tan α

显然当tanα>0时,tanβ取得最大值,∴tanβ=

1
1
tanα
+2tan α
1
2
1
tanα
×2tanα
=
1
2
2
=
2
4

当且仅当tanα=

2
2
时取等号

综上所述,tanβ的最大值是

2
4

故答案为

2
4

名词解释
单项选择题