问题
填空题
已知:3Sinβ=Sin(2α+β),则tanβ的最大值是______.
答案
由3sinβ=sin(2α+β)得:
3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]
⇒3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
⇒sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα
若cos(α+β)=0,则易得tanβ=0
若cos(α+β)≠0,则在等式两边同除以cos(α+β),即
=sin(α+β)cosα cos(α+β) 2cos(α+β)sinα cos(α+β)
∴tan(α+β)=2tanα (tanα≠0)
因为tanβ=tan[(α+β)-α]=
=tan(α+β)-tanα 1+tan(α+β)tanα
=tanα 1+2tan2α 1
+2tan α1 tanα
显然当tanα>0时,tanβ取得最大值,∴tanβ=
≤1
+2tan α1 tanα
=1 2
×2tanα1 tanα
=1 2 2 2 4
当且仅当tanα=
时取等号2 2
综上所述,tanβ的最大值是2 4
故答案为2 4