由3sinβ=sin（2α+β）得：

3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]

⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα

⇒sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα

若cos（α+β）=0，则易得tanβ=0

若cos（α+β）≠0，则在等式两边同除以cos（α+β），即

∴tan（α+β）=2tanα  （tanα≠0）

因为tanβ=tan[（α+β）-α]=

显然当tanα＞0时，tanβ取得最大值，∴tanβ=

当且仅当tanα=

综上所述，tanβ的最大值是

故答案为