问题
填空题
已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是______．
答案
由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα
若cos（α+β）=0，则易得tanβ=0
若cos（α+β）≠0，则在等式两边同除以cos（α+β），即
=sin(α+β)cosα cos(α+β) 2cos(α+β)sinα cos(α+β)
∴tan（α+β）=2tanα （tanα≠0）
因为tanβ=tan[（α+β）-α]=
=tan(α+β)-tanα 1+tan(α+β)tanα
=tanα 1+2tan2α 1
+2tan α1 tanα
显然当tanα＞0时，tanβ取得最大值，∴tanβ=
≤1
+2tan α1 tanα
=1 2
×2tanα1 tanα
=1 2 2 2 4
当且仅当tanα=
时取等号2 2
综上所述，tanβ的最大值是2 4
故答案为2 4