（1）设z=a+bi，（a，b∈R），则

.

z

=a-bi，代入z•

.

z

-3i•z=

10

1-3i

，得a²+b²-3ai+3b=1+3i

故有

a2+b2+3b=1 a=-1

得

a=-1 b=0或-3

，

综上知z=-1，或z=-1-3i

（2）设z=a+bi，，（a，b∈R），

充分性：由|z|=1得z•

.

z

=1，即

.

z

=

1

z

，故z+

1

z

=2a，是实数

必要性：由z+

1

z

为实数，即a+bi+

1

a+bi

=a+

a

a2+b2

+（b-

b

a2+b2

）i是实数，

即b-

b

a2+b2

=0，可得a²+b²=1，故有|z|=1

综上证明知，z+

1

z

为实数的充要条件是|z|=1