问题
解答题
设a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边．求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°．
答案
证明：充分性：当A=90°时，a2=b2+c2．…（2分）
于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x1=-（a+c），x2=-（a-c）．…（5分）
同样，x2+2cx-b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x3=-（c+a），x4=-（c-a）．…（7分）
显然x1=x3，两方程有公共根．…（8分）
必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m，…（9分）
则
…（11分）m2+2am+b2=0 (1) m2+2cm-b2=0 (2)
（1）+（2）得m=-（a+c）．（m=0舍去）．…（13分）
将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]2+2a•[-（a+c）]+b2=0，
整理得a2=b2+c2．…（15分）
所以A=90°．
故结论成立．…（16分）