问题
解答题
| 已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1（x∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=
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答案
（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx-sin2x+1
=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=
（2
sin2x+2 2
cos2x）2 2
=
sin（2x+2
）---（2分）π 4
∴f（x）的最小正周期为π；--------------------（3分）
∵-
+2kπ≤2x+π 2
≤π 4
+2kπ（k∈Z），π 2
∴-
+kπ≤x≤3π 8
+kπ（k∈Z），π 8
∴f（x）的增区间为（-
+kπ，3π 8
+kπ）（k∈Z），-----------（6分）π 8
（Ⅱ）∵f（A+
）=π 8
，2 3
∴
sin（2A+2
）=π 2
，2 3
∴cos2A=
，1 3
∴2cos2A-1=
，1 3
∵A为锐角，即0＜A＜
，π 2
∴cosA=
，6 3
∴sinA=
=1-cos2A
．--------------------（8分）3 3
又∵a=
，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即(3
)2=b2+c2-2bc•3
，6 3
∵b2+c2≥2bc，
∴bc≤
+9 2
．-------------------------（10分）3 6 2
∴S=
bcsinA≤1 2
（1 2
+9 2
）•3 6 2
=3 3
．---------（12分）3(
+3
)2 4