问题 解答题
已知向量
m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,cosx),
p
=(2
3
,1).
(1)若
m
p
,求sinx•cosx的值;
(2)若f(x)=
m
n
,求函数f(x)在区间[0,
π
3
]上的值域.
答案

(1)∵向量

m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,cosx),
p
=(2
3
,1).

∴由

m
p
,可得
3
sinxcosx=2
3
cos2x,

两边都除以

3
cos2x,得tanx=2.

∴sinx•cosx=

sinx•cosx
sin2x+cos2x
=
tanx
1+tan2x
=
2
5
.…(6分)

(2)由题意,得

f(x)=

m
n
=
3
sinxcosx+cos2x=
3
2
sin2x+
1
2
(1+cos2x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2

∵0≤x≤

π
3
,∴
π
6
≤2x+
π
6
6

1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1.

可得1≤f(x)≤

3
2
,故函数f(x)的值域为[1,
3
2
].…(12分)

单项选择题
填空题