问题
解答题
设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=
（1）求tanAcotB的值； （2）求tan（A-B）的最大值． |
答案
（1）在△ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA=
c3 5
可得sinAcosB-sinBcosA=
sinC=3 5
sin(A+B)=3 5
sinAcosB+3 5
cosAsinB3 5
即sinAcosB=4cosAsinB，则tanAcotB=4；
（2）由tanAcotB=4得tanA=4tanB＞0tan(A-B)=
=tanA-tanB 1+tanAtanB
=3tanB 1+4tan2B
≤3 cotB+4tanB 3 4
当且仅当4tanB=cotB，tanB=
，tanA=2时，等号成立，1 2
故当tanA=2，tanB=
时，tan（A-B）的最大值为1 2
．3 4