设函数f(x)当|x|<1时具有二阶导数,且满足
求f(0),f’(0)以及f"(0)。
参考答案:[解法一] 由题设[*]
[*]
利用当x→0时的等价无穷小关系
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可得[*]
把函数f(x)的二阶麦克劳林公式代入上式,就有
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由此即得 f(0)=0,f’(0)=0,f"(0)=18
[解法二] 同[解法一]首先得到[*]于是由函数二阶可导与极限的四则运算法则以及导数的定义可得
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从而函数f(x)的二阶麦克劳林公式是
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由此可得[*]
令x→0在上式两端取极限就有
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于是,为了求得f"(0),只需给出函数f(x)的表达式并代入上式计算相应极限即可,利用极限与无穷小量的关系可得
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其中函数g(x)满足[*]由(*)式不难解出
f(x)=xln[(3+g(x))ln(esinx+2x)+1]
故[*]
在上面的求极限过程中利用了当□→0时的等价无穷小关系:e□-1~□与ln(1+□)~□来简化计算。