问题
问答题
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=2，BC=BB1=1，点D是棱A1C1的1中点。
(1)设平面BB1D与棱AC交于点E，确定点E的位置并给出理由；
(2)求直线AB与平面BB1D所成角的大小；
(3)求二面角B-AD-B1的大小。
答案
参考答案：
(1)由题意，连接BE，DE，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵BB1∥平面AA1C1C，平面B1BED∩平面AA1C1C=DE，
∴BB1∥ED．
∴ED∥AA1∥CC1。
又∵点D是棱A1C1的中点，
∴点E是棱AC的中点。
[*]
(2)延长BE，过点A作AF⊥BE，交BE的延长线于点F。
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，且[*]
∴BB1⊥AF。
又∵AF⊥BE，
∴AF⊥平面BEDB1，
∴∠FBA即为直线AB与平面BB1D所成的角。
在Rt△ABC中，[*]，
又∵在Rt△BCE中，CE=CB=1，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴∠CEB=45°．
∴∠AEF=∠CEB=45°．
∴△AEF为等腰直角三角形，[*]
[*]
(3)由(1)(2)知[*]
∵AD2+BD2=AB2，
∴△ADB为直角三角形。
过点D于平面ADB1内作DG⊥AD交AB1与点G，连接BG，
则∠BDG为二面角B-AD-B1的平面角。
由余弦定理得[*]=AD2+B1D2-2AD·B1D·cos∠ADB1，
解之得[*]
又由题意知90°＜∠ADB1＜180° ∴∠ADB1=120°，
∴在△ADB1中，∠DAB1=∠DB1A=30°。
[*]
由余弦定理得[*]
在△BDG中，由余弦定理得BG2=BD2+DG2-2BD·DG·cos∠BDG。
[*]