问题
单项选择题
为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱（如图所示），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为（）m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。
A.5和6
B.6和5
C.3和6
D.6和3
E.以上答案均不正确
答案
参考答案：D
解析：
[方法1]流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，所以求质量分数最小，即求ab的最大值，由题意知4b+2ab+2a=60(a＞0，b＞0)，即2b+ab+a=30(a＞0，b＞o)，因为
，所以
，当且仅当a=2b时上式取等号，由a＞0，b＞0解得0＜ab≤18，所以当a=2b时，ab取最大值，其最大值为18，所以2b2=18，解得a=6，b=3，故当a为6m，b为3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小，应选(D)。
[方法2]设y为流出的水中杂质的质量分数，则
，其中k＞0为比例系数。
依题意，即所求的a，b值使y值最小。
根据题设，有4b+2ab+2a=60(a＞0，b＞0)，得
(0＜a＜30) (1)于是
这时a=6，a=-10(舍去)。
将a=6代入式(1)得b=3。
则当a为6m，b为3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小，应选(D)。