若a=1，可得f（x）=

2x-1

2x+1

，因f（-x）=

1 2x -1

1 2x +1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），所以f（x）是奇函数，

若函数f(x)=

2x-a

2x+a

在其定义域上为奇函数，可得f（-x）=

1 2x -a

1 2x +a

=

1-a•2x

1+a•2x

=-f（x）=-

2x-a

2x+a

=

a-2x

2x+a

，

解得a=±1，

∴“a=1”⇒“函数f(x)=

2x-a

2x+a

，

∴“a=1”是“函数f(x)=

2x-a

2x+a

在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件，

故选A；