充分性，

当α=

5

12

π时，cos²α-sin²α=cos2α=cos

5π

6

=-

3

2

，

此时“cos2α-sin2α=-

1

2

”不成立，故充分性不成立；

必要性，

当“cos2α-sin2α=-

1

2

”成立时，

得cos2α=-

1

2

，所以2α=

2π

3

+2kπ或

4π

3

+2kπ，（k∈Z）

解得α=

π

3

+2kπ或

2π

3

+kπ，（k∈Z）

不能得到α=

5

12

π，故必要性不成立

故选：D