（I）∵5

a

+3

b

与3

a

+k

b

垂直，

a

与

b

的夹角是

π

3

，

∴（5

a

+3

b

）•（3

a

+k

b

）=0，

即15|

a

|²+（5k+9）|

a

|•|

b

|cos

π

3

+3k|

b

|²=0，

又|

a

|=2，|

b

|=3，

∴60+3（5k+9）+27k=0，即42k=-87，解得：k=-

87

42

；

（II）把sinα+cosα=

1

5

①两边平方得：

sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=

1

25

，

∴2sinαcosα=-

24

25

＜0，又0＜α＜π，

∴sinα＞0，cosα＜0，

则（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，

∴sinα-cosα=

7

5

②，

联立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，

则tanα=-

4

3

．