（I）对函数）f(x)=

(x-a)2

x

求导，得 

 f′(x)=

2(x-a)x-(x-a)2

x2

=

x2-a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，

先证充分性：若0＜a＜1，

∵1＜x＜2，∴x-a＞0，x+a＞0，

∴f'（x）＞0

∴函数f（x）在区间（1，2）上递增．

再说明非必要性：∵f（x）在区间（1，2）上递增，

∴f'（x）≥0对1＜x＜2恒成立

即

x2-a2

x2

≥0对1＜x＜2恒成立，

x²-a²≥0对1＜x＜2恒成立，

即a²≤x²对1＜x＜2恒成立，

∵1＜x＜2，∴1＜x²＜4，

∴a²≤1，即-1≤a≤1．即推不出0＜a＜1．

∴0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件 

（II）由（I）知f′(x)=

x2-a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，

令f'（x）=0，得x₁=a，x₂=-a

①当a=0时，f（x）=x，x∈（-∞，0）时，f（x）＜-6不能恒成立，不符合题意．

②当a＞0时，函数y=f（x）在（-∞，-a）上递增，在（-a，0）上递减，

∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（-a）

若x∈（-∞，0）时，f（x）＜2a²-6恒成立，

则需f（x）_极大值=f（-a）＜2a²-6

即-4a＜2a²-6，

解得a＞1．

③当a＜0时，函数y=f（x）在（-∞，a）上递增，在（a，0）上递减，

∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（a）

此时x∈（-∞，0），

若满足f（x）＜2a²-6恒成立，

则需f（x）_极大值=f（a）=0＜2a²-6

解得a＜-

3

故若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a²-6恒成立，实数a∈(-∞，-

3

)∪(1，+∞)