问题
填空题
设y==(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4，则y"(3)=______．
答案
参考答案：L
解析：
[分析]： 令ψ(x)=(x-1)(x-2)2(x-4)4
则
y=ψ(x)(x-3)3
设ψ(x)在x=3处的幂级数展开式为
ψ(x)=a0+a1(x-3)+…+an(x-3)n+…
则
y=(x-3)3[a0+a1(x-3)+…+an(x-3)n+…]
=a0(x-3)3+a1(x-3)4+…+an(x-3)n+3+…从而
y"’(3)=a0·3!=6a0
显然a0=ψ(3)=2，故y"’(3)=12
[评注] 由本题的分析可得到一个常用的结论：若ψ(x)在x0的某邻域内可展开为幂级数，y=(x-x0)nψ(x)(n为正整数)，则
y(k)(x0)=0 k=1，2，…，n-1
y(n)(x0)=ψ(x0)n!