问题
问答题
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且
，f(1)=0，证明：至少存在一点ξ(0，1)，使得(1+ξ2)f＇(ξ)arctanξ=-1．
答案
参考答案：[详解] 令F(x)=ef(x)arctanx，
由积分中值定理得
所以
即
而
在[η，1]上用罗尔定理：
ξ∈(η，1)
(0，1)使F’(ξ)=0，
即 (1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=-1．
解析：
[分析]： 对于定积分表达式，经常使用积分中值定理．此外和定积分表达式有关的找ξ的问题，经常设被积函数为辅助函数F(x)．
[评注] 找中值ξ的问题，设置辅助函数是关键．对于已知条件由积分表达式给出的问题，设置辅助函数为被积函数即可以解决．