参考答案：[详解] 因为A有n个互异特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，所以A有n个线性无关的特征向量ξ₁，ξ₂，…，ξ_n，即
Aξ_i=λ_iξ_i，i=1，2，…，n．
由(2)得Bξ_i=μ_iξ_i，i=1，2，…，n． 于是
BAξ_i=B(λ_iξ_i)=λ_iBξ_i=λ_iμ_iξ_i=ABξ_i．
对于n维向量空间Rⁿ中的任一向量ξ，必存在唯一的k₁，k₂，…，k_n，使
ξ=k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_nξ_n．
从而

所以 AB=BA．

解析：

[分析]： 若对[*]ξ，有ABξ=BAξ，则AB=BA．而ξ可表示为特征向量ξ₁，ξ₂，…，ξ_n的线性组合．因此，只需证明对特征向量ξ_i，有ABξ_i=BAξ_i(i=1，2，…n)即可．而这利用特征值，特征向量的定义即可证明．
[评注] 本题也可用矩阵形式推导：令ξ₁，ξ₂，…，ξ_n是A的分别属于其不同特征值λ₁，λ₂，…，λ_n的特征向量，则ξ₁，ξ₂，…，ξ_n线性无关，故P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]可逆，且
[*]