问题
问答题
设A，B为n阶矩阵，秩r(A) +r(B) ＜n．证明：
(1)λ=0为A，B相同的特征值；
(2)Ax=0与Bx=0的基础解系组成的向量组线性相关；
(3)A，B具有公共的特征向量．
答案
参考答案：[详解] (1)由r(A)+r(B)＜n，知r(A)＜n，r(B)＜n，因此有|A|=|B|=0，故λ=0为A，B相周的特征值．
(2)设r(A)=s，r(B)=t，Ax=0的基础解系为α1，α2，…，αn-t，Bx=0的基础解系为β1，β2，…，βn-t，由于(n-s)+(n-t)＞n，故向量组α1，α2，…，αn-s，β1，β2，…，βn-t必线性相关．
(3)由α1，α2，…，αn-s，β1，β2，…，βn-t线性相关知，存在不全为零的k1，…，kn-s，l1，…，ln-t使k1α1+…+kn-sαn-s+l1β1+…+ln-tβn-t=0，
令ξ=k1α1+…+kn-sαn-s=-l1β1-…-ln-tβn-t，则ξ≠0(否则k1，…，kn-s，l1，…，ln-t全为零)为A，B属于特征值λ=0的公共特征向量．
解析：
[分析]： (1)λ=0为A，B的特征值[*]A，B的行列式为零[*]r(A)＜n，r(B)＜n．而由r(A)+r(B)＜n，可以立即得到结论；(2)两个基础解系组成的向量组所含向量个数大于维数n，从而必线性相关；(3)利用(2)的结论及线性相关的定义证明即可．
[评注] 本题综合考查了行列式、矩阵秩、线性相关、线性无关、线性方程组的解和特征值的概念等多个重要知识点．