问题
问答题
设f(x)具有连续的二阶导数，且f(1)=f’(1)=1，
+
，其中L是任一不与y轴相交的简单光滑闭曲线，试求f(x)．
答案
参考答案：[详解] 因为与y轴不相交的任意闭路为零，所以[*]，可得
[*]
得到 [*]
令 [*]，得微分方程：
[*]
[*]为f’(t)关于t的一阶线性方程．
所以f’(t)=-2t+C1t2=-2t+3t2 (f’(1)=1)，
f(t)=-t2+t3+C2
=-t2+t3+1 (f(1)=1)．
所以 f(x)=x3-x2+1．
解析：
[分析]： 由条件沿任何闭路积分为零，可得[*]，由此可得出f(x)满足的微分方程．
[评注] 该题综合了第二类曲线积分沿闭路积分为零的充要条件及求解微分方程．应注意到关于f’(t)是一个一阶线性方程，求出f’(t)，再积分才能求得f(x)．