参考答案：方法一 依题意α₁，α₂，…，α_s可被β₁，β₂，…，β_t线性表出，α₁，α₂，…，α_s的极大线性无关组就可被β₁，β₂，…，β_t的极大线性无关组线性表出．又由于它们的秩相等，不妨设为r，并设α₁，α₂，…，α_r和β₁，β₂，…，β_r分别是α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t的极大线性无关组．构造一个新的向量组α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r于α₁，α₂，…，α_r可被β₁，β₂，…，β_r线性表出，所以β₁，β₂，…，β_r是α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r的极大线性无关组，且向量组α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r的秩是r．又因为α₁，α₂，…，α_r是向量组中的r个线性无关的向量，于是α₁，α₂，…，α_r也是向量组α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r的一个极大线性无关组．因此α₁，α₂，…，α_r和β₁，β₂，…，β_r等价，从而有β₁，β₂，…，β_r可以由α₁，α₂，…，α_r线性表出，也就有β₁，β₂，…，β_t可被α₁，α₂，…，α_s线性表出．
方法二 设α₁，α₂，…，α_r和β₁，β₂，…，β_r分别是α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t的极大线性无关组．依题意α₁，α₂，…，α_r可以被β₁，β₂，…，β_r线性表出，不妨设
[*]
写成矩阵形式，即
[*] (*)
记
[*]
(α₁，α₂，…，α_r)=(β₁，β₂，…，β_r)A．
因为 r=r(α₁，α₂，…，α_r)≤r(A)，又r(A)≤r，所以r(A)=r．
即矩阵A可逆，于是有
(β₁，β₂，…，β_r)=(α₁，α₂，…，α_r)A^-1．
就是说β₁，β₂，…，β_r可以由α₁，α₂，…，α_r线性表出，从而有β₁，β₂，…，β_t可以由α₁，α₂，…，α_s线性表出．