问题
单项选择题
设α1，α2，α3，α4是n(n＞3)维列向量，已知α1，α2，α3线性无关，非零向量α4与α1，α2，α3都正交，则下列结论
①α1，α2，α3，α4线性相关 ②α1，α2，α3，α4线性无关
③α4可由α1，α2，α3线性表出 ④α4不可由α1，α2，α3线性表出
中正确的是
A．①、③．
B．①、④．
C．②、③．
D．②、④．
答案
参考答案：D
解析：
[分析]： 从定义出发，利用题设的条件进行推导．这里的条件是α4与α1，α2，α3都正交，即(α4，α1)=0，(α4，α2)=0，(α4，α3)=0．所以就要对等式作内积．
设k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，等式两边与α4作内积，得
(α4，k1α1+k2α2+k3α3+k4α4)=0，
k1(α4，α1)+k2(α4，α2)+k3(α4，α3)+k4(α4，α4)=0．
由题设α4与α1，α2，α3都正交，即(α4，α1)=0，(α4，α2)=0，(α4，α3)=0，代入得
k4(α4，α4)=0．
由题设α4是非零向量，所以(α4，α4)≠0，得出k4=0．于是
k1α1+k2α2+k3α3=0，
再由题设α1，α2，α3线性无关，有
k1=k2=k3=0．
因此，α1，α2，α3，α4线性无关．故①不对，②正确．
又由“若α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示法唯一”可知，③不对．
综上分析，应选(D)．