问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆O相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
（Ⅰ）求cos（α-β）的值； （Ⅱ）若点C为单位圆O上异于A、B的一点，且向量
|
答案
（Ⅰ）依题意得，cosα=
，cosβ=2 10
，…（2分）2 5 5
∵α，β为锐角，
∴sinα=
=1-cos2α
，sinβ=7 2 10
=1-cos2β
，…（4分）5 5
则cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=
×2 10
+2 5 5
×7 2 10 5 5
=
；…（6分）9 10 50
（Ⅱ）设点C的坐标为（m，n），
∵C在单位圆上，则m2+n2=1，①…（7分）
∵向量
与OC
夹角为OA
，|π 4
|=|OC
|=1，且OA
=（m，n），OC
=（cosα，sinα）=（OA
，2 10
），7 2 10
∴cos
=π 4
=
•OC OA |
| |OC
|OA
，…（9分）(m，n)•(
，2 10
)7 2 10 1×1
整理得：
=2 2
m+2 10
n，即m+7n=5，②…（10分）7 2 10
联立方程①②，
解得：
或m= 4 5 n= 3 5
…（11分）m=- 3 5 n= 4 5
∴点C的坐标为(
，4 5
)或(-3 5
，3 5
)． …（12分）4 5