∵α为第三象限角，且

1+cos2α

sin2α

=

3

4

，∴

2cos2α

2sinαcosα

=

3

4

，∴cotα=

3

4

，tanα=

4

3

．

由  2kπ+π＜α＜2kπ+

3π

2

，k∈z 可得 kπ+

π

2

＜

α

2

＜2kπ+

3π

4

，k∈z，故tan

α

2

＜-1．

根据 tanα=

4

3

=

2tan α 2

1-tan2 α 2

 求得  tan

α

2

=-2，或tan

α

2

=

1

2

（舍去），

故选D．