已知数列{an}满足a1=1,且对任意的正整数n有an+3≥an+3,an+1≤an+1成立. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an},{bn}满足an=
(3)若数列{cn},{dn}满足dn=
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(1)因为an+1≤an+1,且an+3≥an+3,
所以an+3≤an+3≤an+2+1≤an+1+1+1≤an+1+1+1=an+3,
所以an+3=an+3①
则an+4=an+1+3②
①-②得:an+4-an+3=an+1-an
在该式中依次取n=1,2,3,4,5,6…
可得a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an+1-an
所以数列{an}构成等差数列,由an+3=an+3得an+3d=an+3,
所以d=1.
所以数列{an}是以a1=1为首项,以1为公差的等差数列,
所以an=a1+(n-1)d=1+n-1=n;
证明:(2)由an=
,b1+2b 2+3b3+…+nbn 1+2+3+…+n
得:
an=b1+2b2+…+nbn,n(n+1) 2
所以
=b1+b2+…+nbn③,n2(n-1) 2
则
=b1+b2+…+(n-1)bn-1④,(n-1)2n 2
③-④得:nbn=
(n2-n-n2+2n-1),n 2
所以bn=
(n-1),1 2
由bn+1-bn=
n-1 2
(n-1)=1 2
,1 2
所以数列{bn}是等差数列.
(3)由dn=
,c1+2c 2+3c3+…+ncn 1+2+3+…+n
得
dn=c1+2c2+3c3+…+ncn⑤,n(n+1) 2
所以
dn-1=c1+2c2+3c3+…+(n-1)cn-1⑥,n(n-1) 2
⑤-⑥得:ncn=
(ndn+dn-ndn-1+dn-1),n 2
若数列{dn}是等差数列,设其公差为m,则上式等价于
ncn=
(nm+2dn-m),n 2
⇔cn=
mn+d1-3 2
⇔cn+1-cn=3m 2
m.3 2
所以若数列{cn},{dn}满足dn=
,则数列{cn}成等差数列的充要条件是数列{dn}等差数列.c1+2c 2+3c3+…+ncn 1+2+3+…+n