问题 解答题
已知数列{an}满足a1=1,且对任意的正整数n有an+3≥an+3,an+1≤an+1成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an},{bn}满足an=
b1+2b 2+3b3+…+nbn
1+2+3+…+n
,求证:数列{bn}是等差数列;
(3)若数列{cn},{dn}满足dn=
c1+2c 2+3c3+…+ncn
1+2+3+…+n
,求证:数列{cn}成等差数列的充要条件是数列{dn}等差数列.
答案

(1)因为an+1≤an+1,且an+3≥an+3,

所以an+3≤an+3≤an+2+1≤an+1+1+1≤an+1+1+1=an+3,

所以an+3=an+3①

则an+4=an+1+3②

①-②得:an+4-an+3=an+1-an

在该式中依次取n=1,2,3,4,5,6…

可得a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an+1-an

所以数列{an}构成等差数列,由an+3=an+3得an+3d=an+3,

所以d=1.

所以数列{an}是以a1=1为首项,以1为公差的等差数列,

所以an=a1+(n-1)d=1+n-1=n;

证明:(2)由an=

b1+2b 2+3b3+…+nbn
1+2+3+…+n

得:

n(n+1)
2
an=b1+2b2+…+nbn

所以

n2(n-1)
2
=b1+b2+…+nbn③,

(n-1)2n
2
=b1+b2+…+(n-1)bn-1④,

③-④得:nbn=

n
2
(n2-n-n2+2n-1),

所以bn=

1
2
(n-1),

bn+1-bn=

1
2
n-
1
2
(n-1)=
1
2

所以数列{bn}是等差数列.

(3)由dn=

c1+2c 2+3c3+…+ncn
1+2+3+…+n

n(n+1)
2
dn=c1+2c2+3c3+…+ncn⑤,

所以

n(n-1)
2
dn-1=c1+2c2+3c3+…+(n-1)cn-1⑥,

⑤-⑥得:ncn=

n
2
(ndn+dn-ndn-1+dn-1),

若数列{dn}是等差数列,设其公差为m,则上式等价于

ncn=

n
2
(nm+2dn-m),

cn=

3
2
mn+d1-
3m
2
cn+1-cn=
3
2
m

所以若数列{cn},{dn}满足dn=

c1+2c 2+3c3+…+ncn
1+2+3+…+n
,则数列{cn}成等差数列的充要条件是数列{dn}等差数列.

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