对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的

问题解答题

对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=log_a（x-3a）与g(x)=loga

x-a

（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．

答案

（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，

必须满足

a+2-3a＞0

a+2-a＞0

0＜a，a≠1

⇒0＜a＜1

（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，

则|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|⇒|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1

即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*）

因为a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，

所以函数g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而

[g(x)]max=g(a+2)=loga(4-4a)

[g(x)]min=g(a+3)=loga(9-6a)

于是不等式（*）成立的充要条件是

loga(4-4a)≤1

loga(9-6a)≥-1

0＜a＜1

⇒0＜a≤

因此，当0＜a≤

时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的；当1＞a＞

时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是不“友好”的．