由“

OA

•

OB

=0”推“直线AB恒过定点（2p，0）”

设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）

（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．

联立方程得：

y=kx+b y2=2px

消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0

由题意：x1x2=

b2

k2

，y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=

2pb

k

又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，

即

b2

k2

+

2pb

k

=0，解得b=0（舍去）或b=-2pk

故直线l的方程为：y=kx-2pk=k（x-2p），故直线过定点（2p，0）

（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0

联立方程得：

x=m y2=2x

解得 y=±

2m

，即y₁y₂=-2m

又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2

可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）

综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．

由“直线AB恒过定点（2p，0）”推“

OA

•

OB

=0”

设l：x=ty+2p代入抛物线y²=2px消去x得，

y²-2pty-4p²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

则y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-4p²

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+2p）（ty₂+2p）+y₁y₂

=t²y₁y₂+2pt（y₁+y₂）+4p²+y₁y₂

=-4p²t²+4p²t²+4p²-4p²=0．

∴“

OA

•

OB

=0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的充要条件．

故选B．