∵定义在R上的函数y=f（x），

f（5+x）=f（-x）可得函数的对称轴为x=

5+x-x

2

=

5

2

，

∵(x-

5

2

)f′(x)＞0，

当x＞

5

2

时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

当x＜

5

2

时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当f（x）＞f（x+1），说明f（x）为减函数，故有x+1≤

5

2

，解得x≤

3

2

，⇒“x＜2”，

∴“f（x）＞f（x+1）”是“x＜2”的充分不必要条件，

故选A；