问题
解答题
已知α、β都是锐角，且
（1）求证：tanβ=
（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值． |
答案
证明：∵tanβ=
=sinβ cosβ
=sinαcos(α+β) cosβ
=sinαcosα-sin2αtanβsinα(cosαcosβ-sinαsinβ) cosβ
∴（1+sin2α）tanβ=sinαcosα
∴tanβ=
=sinαcosα 1+sin2α
=tanα 1+sin2α cos2α
=tanα cos2α+2sin2α cos2α tanα 1+2tan2α
（2）∵tanα＞0，tanβ＞0
∴tanβ=
≤1
+2tanα1 tanα 1 2 2
当且仅当
=2tanα，即tanα=1 tanα
时，2 2
tanβmax=
=2 2 1+2× 1 2 2 4
∴tan（α+β）=
=
+2 2 2 4 1-
×2 2 2 4
×3 2 4
=4 3 2
