（1）证明：由题意知：A≠

π

2

，B≠

π

2

，C≠

π

2

，且A+B+C=π

∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC…．…（1分）

又∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

…．…（2分）

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC…．…（4分）

即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC…．…（5分）

（2）由cosB=

12

13

＞0知道：B∈(0，

π

2

)，

∵sin²B+cos²B=1，∴sinB=

5

13

…．…（6分）

而sinA＞sinB，∴A＞B

①当A∈（0，

π

2

）时，cosA=

3

5

…（7分）

∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

4

5

×

5

13

-

3

5

×

2

13

=-

16

65

…．…（9分）

②当A∈（

π

2

，π）时，cosA=-

3

5

…．…（10分）

∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

4

5

×

5

13

-(-

3

5

)×

2

13

=

56

65

…（12分）