问题
解答题
已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x-2sin（x+
（1）若tanα=2，求f（α）； （2）若x∈[
|
答案
（1）∵f（x）=（1+cotx）sin2x-2sin（x+
）sin（x-π 4
）=sin2x+sinxcosx+cos2xπ 4
=
+1-cos2x 2
sin2x+cos2x=1 2
(sin2x+cos2x)+1 2 1 2
∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα=
=2sinα•cosα sin 2α+cos 2α
=2tanα 1+tan 2α
，4 5
cos2α=cos 2α-sin 2α=
=cos 2α-sin 2α cos 2α+sin 2α
=-1-tan 2α 1+tan 2α 3 5
=
(sin2x+cos2x)+1 2 1 2
由tanα=2得sin2α=
=2sinαcosα sin2α+cos2α
=2tanα 1+tan2α
，4 5
cos2α=
=cos2α-sin2a sin2α +cos2a
=-1-tan2α 1+tan2α
，3 5
所以f(α)=
．3 5
（2）由（1）得f(x)=
(sin2x+cos2x)+1 2
=1 2
sin(2x+2 2
)+π 4 1 2
由x∈[
，π 12
]得2x+π 2
∈[π 4
，5π 12
]，所以sin(2x+5π 4
)∈[-π 4
，1]2 2
从而f(x)=
sin(2x+2 2
)+π 4
∈[0，1 2
]．1+ 2 2